不可定向曲面

一种曲面，例如 莫比乌斯带 或 克莱因瓶 (Gray 1997, pp. 322-323)，在其上存在一条闭合路径，使得当定向子绕此路径移动时，定向反转。实射影平面 也是一个不可定向曲面，博伊曲面、交叉帽 和 罗马曲面 也是，所有这些都同胚于 实射影平面 (Pinkall 1986)。

存在一种构造不可定向曲面的一般方法，步骤如下 (Banchoff 1984, Pinkall 1986)。选择三个 齐次多项式，其 正 偶 次，并考虑 映射

 

(1)

 

然后通过写入将

、

和

限制到球面上

 

 

 

(2)

 

 

 

 

(3)

 

 

 

 

(4)

 

并将

限制为

，将

限制为

，定义了从 实射影平面 到

的映射。

在三维空间中，没有不 自相交 的无界不可定向曲面 (Kuiper 1961, Pinkall 1986)。