之前总结了一下latex的公式输入。但是俗话说得好，巧妇难为无米之炊
数学公式中的字母经常是带上标（幂/转置/导数等）和下标（矩阵元素位置/参数个数等）的，而用latex解决这个问题十分简单。可以使用^表示上标，使用_表示下标。当然要值得注意的是，当上下标的有多个（2个及以上）字符时，要用{}括起来。
<!--来直接看几个例子--> $$Y = \beta_0 + \beta_1X_1 + \beta_2X_2^2$$ $$a_{11} + a_{12}^2 + a_{13}^3 = 0$$显示效果：
\[Y = \beta_0 + \beta_1X_1 + \beta_2X_2^2 \]
\[a_{11} + a_{12}^2 + a_{13}^3 = 0 \]
tip1：有时我们想使用的标记在字母的正上方，例如\(\bar X\)。这种无法直接用上下标来表示，需要使用其他的方法。
tip2：在这里列举一些常用的用法：
\(\bar X\)(X拔)的表示方法是：$\bar X$，这个通常是用来表示变量的均值
\(\hat Y\)(Y帽)的表示方法是：$\hat Y$，这个通常是用来表示变量的预测值
\(\underline X\)的表示方式是：$\underline X$，可以用来表示下限
还有其他像\(\widetilde X\)的表示方式是：$\widetilde X$
tip3：例子中使用了一些希腊字母，可以直接跳转到下面进行查看
3. 分式直接使用\frac{}{}来表示分式，其中第一个{}表示分子，第二个{}表示分母
$$f(x, y) = \frac{x + y}{x - y}$$显示效果：
\[f(x, y) = \frac{x + y}{x - y} \]
4. 根式直接使用sqrt[]{}来表示分式，其中[]用来放开方的次数，{}用来放要被开方的公式
$$f(x, y) = \sqrt[n]{\frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2}}$$显示效果：
\[f(x, y) = \sqrt[n]{\frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2}} \]
5. 求和和连乘对于连加的情况，我们通常使用\(\sum\)来表示。它的使用用法也很简单，但是通常都要添加上下标，像$\sum_{}^{}$形式。除了连加，我们有时也使用连乘，虽然没有连加使用得多（连乘都能通过对数写成连加），它只要以$\prod_{}^{}$的形式表示。
<!--连加--> $$\sum_{i = 1}^{n}x_i$$ <!--连乘--> $$\prod_{i = 1}^{n}x_i$$显示效果：
\[\sum_{i = 1}^{n}x_i \]
\[\prod_{i = 1}^{n}x_i \]
tip1：在latex中，默认情况下行内公式都是显示像\(\sum_{i=1}^na_{ij}\)的效果，如果想要这样的效果\(\displaystyle\sum_{i=1}^na_{ij}\)，就需要在前面加上\displaystyle，来重新看一下下面的例子：
<!--连加--> $\sum_{i = 1}^{n}x_i$ $\displaystyle\sum_{i = 1}^{n}x_i$ <!--连乘--> $\prod_{i = 1}^{n}x_i$ $\displaystyle\prod_{i = 1}^{n}x_i$显示效果：
\(\sum_{i = 1}^{n}x_i\)
\(\displaystyle\sum_{i = 1}^{n}x_i\)
\(\prod_{i = 1}^{n}x_i\)
\(\displaystyle\prod_{i = 1}^{n}x_i\)
还记得高数里极限的符号吗
显示效果：
\[\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x} = 1 \]
\[\displaystyle\lim_{x \rightarrow + \infty}(1 + \frac{1}{x})^x = e \]
tip1：右箭头\(\rightarrow\)的表示方式为$\rightarrow$，左箭头\(\leftarrow\)的表示方式是$\leftarrow$
tip2：正无穷\(+ \infty\)的表示方式为$+ \infty$，负无穷\(- \infty\)的表示方式是$- \infty$
7. 积分如果想要输入积分，则需要使用\int_{}^{}来表示
$$\int_0^1 x^2 dx$$ <!--来看一个更加复杂的例子--> <!--正态分布的分布函数--> $$F(x) = \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-(\frac{x-\mu}{\sigma})^2} dx$$显示效果：
\[\int_0^1 x^2 dx \]
\[F(x) = \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-(\frac{x-\mu}{\sigma})^2} dx \]
8. 常用的希腊字母有时我们的公式里会包含一些希腊字母，而在latex中，其实只要会读希腊字母基本就会写出来。下面总结一些常用的希腊字母：
希腊字母 对应的代码 希腊字母 对应的代码可以使用$\sim$来表示波浪线
$\varepsilon \sim N(0, \sigma^2I_n)$显示效果：
\(\varepsilon \sim N(0, \sigma^2I_n)\)
使用$\mathrm{d}$来表示求导符号，$\partial$来表示求偏导
$\frac {\mathrm{d}L(\beta)}{\beta}$ <!--直接用d来表示求导符的效果--> $\frac {dL(\beta)}{\beta}$ <!--偏导--> $\frac {\partial L(\beta_0, \beta_1)}{\partial \beta_0}$显示效果：
\(\frac {\mathrm{d}L(\beta)}{\beta}\)
\(\frac {dL(\beta)}{\beta}\)
\(\frac {\partial L(\beta_0, \beta_1)}{\partial \beta_0}\)
9.3 垂直和平行符号垂直：使用\$perp$，效果为\(\perp\)
平行：可以直接用//或$//$，也可以使用$\parallel$，不过这个是显示竖直的形式||
$//$ $\parallel$显示效果：
\(//\)
\(\parallel\)
有时我们需要把文本放在正下方，这是我们就可以使用$\underset$，有时也可以使用$\limits$
$$\hat \beta = \underset{\beta}{\arg \min} L(\beta)$$ $$\hat \beta = \arg \min \limits_{\beta} L(\beta)$$显示效果：
\[\hat \beta = \underset{\beta}{\arg \min} L(\beta) \]
\[\hat \beta = \arg \min \limits_{\beta} L(\beta) \]
9.5 集合 <!--真包含--> $$\subset$$ <!--包含--> $$\subseteq$$ <!--属于和不属于--> $$\in$$ $$\notin$$ <!--交集和并集--> $$\cap$$ $$\cup$$ <!--其他--> $$\mid$$ $$\supset$$显示效果：
\[\subset \]
\[\subseteq \]
\[\in \]
\[\notin \]
\[\cap \]
\[\cup \]
\[\mid \]
\[\supset \]
9.6 成正比使用$\propto$来表示
$f(\beta|X) \propto f(\beta) f(X|\beta)$显示效果：
\(f(\beta|X) \propto f(\beta) f(X|\beta)\)
使用$nabla$来表示
$\nabla f(x) = [\frac{\partial f(x)}{\partial x_1}, \frac{\partial f(x)}{\partial x_2}, ..., \frac{\partial f(x)}{\partial x_d}]^T$显示效果：
\(\nabla f(x) = [\frac{\partial f(x)}{\partial x_1}, \frac{\partial f(x)}{\partial x_2}, ..., \frac{\partial f(x)}{\partial x_d}]^T\)
