高中数学公式总结大全电子版及知识点归纳大全完整版

高中数学公式总结大全是一份罗列了高中数学中常用的公式及其相关知识点的文档或书籍。在高中阶段，数学公式的掌握对于学生的学习和考试至关重要。高中数学课程中涉及了各个数学分支，如代数、几何、概率与统计等，每个分支都有大量的公式需要记忆和应用。下面是小编整理的高中数学公式总结大全电子版，仅供大家参考。

文章目录

高中数学公式总结大全电子版

1、二次函数的解析式的三种形式

(1)一般式

;

(2)顶点式

;

(3)零点式

.

2、四种命题的相互关系

原命题：与逆命题互逆，与否命题互否，与逆否命题互为逆否；

逆命题：与原命题互逆，与逆否命题互否，与否命题互为逆否；

否命题：与原命题互否，与逆命题互为逆否，与逆否命题互逆；

逆否命题：与逆命题互否，与否命题互逆，与原命题互为逆否

§ 函数

1、若

,则函数

的图象关于点

对称;

若

,则函数

为周期为

的周期函数.

2、函数

的图象的对称性

(1)函数

的图

象关于直线对称

.

(2)函数

的图象关于直线

对称

.

3、两个函数图象的对称性

(1)函数

与函数

的图象关于直线

(即

轴)对称.

(2)函数

与函数

的图象关于直线

对称.

(3)函数

和

的图象关于直线y=x对称.

4、若将函数

的图象右移

、上移

个单位，得到函数

的图象；若将曲线

的图象右移

、上移

个单位，得到曲线

的图象.

5、互为反函数的两个函数的关系：

.

6、若函数

存在反函数,则其反函数为

,并不是

,而函数

是

的反函数.

7、几个常见的函数方程

(1)正比例函数

,

.

(2)指数函数

,

.

(3)对数函数

,

.

(4)幂函数

,

.

(5)余弦函数

,正弦函数

，

，

§ 数 列

1、数列的同项公式与前n项的和的关系

( 数列

的前n项的和为

).

2、等差数列的通项公式

；其前n项和公式为

.

3、等比数列的通项公式

；其前n项的和公式为

或

.

4、等比差数列

:

的通项公式为

；其前n项和公式为

.

§ 三角函数

1、同角三角函数的基本关系式

，

=

，

.

2、正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）

3、和角与差角公式

;

;

.

(平方正弦公式);

.

=

(辅助角

所在象限由点

的象限决定,

).

4、二倍角公式

.

.

.

5、三倍角公式

.

.

.

6、三角函数的周期公式

函数

，x∈R及函数

，x∈R(A,ω,

为常数，且A≠0，ω＞0)的周期

；

函数

，

(A,ω,

为常数，且A≠0，ω＞0)的周期

.

7、正弦定理 

.

8、余弦定理

;

;

.

9、面积定理

（1）

（

分别表示a、b、c边上的高）.

（2）

.

(3)

.

§平面向量

1、两向量的夹角公式

(a=

,b=

).

2、平面两点间的距离公式

=

(A

，B

).

3、向量的平行与垂直

设a=

,b=

，且b

0，则

a||b

b=λa

.

a

b(a

0)

a·b=0

.

4、线段的定比分公式  

设

，

，

是线段

的分点,

是实数，且

，则

（

）.

5、三角形的重心坐标公式

△ABC三个顶点的坐标分别为

、

、

,则△ABC的重心的坐标是

.

6、 三角形五“心”向量形式的充要条件

设

为

所在平面上一点，角

所对边长分别为

，则

（1）

为

的外心

.

（2）

为

的重心

.

（3）

为

的垂心

.

（4）

为

的内心

.

（5）

为

的

的旁心

.

§直线和圆的方程

1、斜率公式

（

、

）.

2、直线的五种方程

（1）点斜式

(直线

过点

，且斜率为

)．

（2）斜截式

(b为直线

在y轴上的截距).

（3）两点式

(

)(

、

(

)).

(4)截距式

(

分别为直线的横、纵截距，

)

（5）一般式

(其中A、B不同时为0).

3、两条直线的平行和垂直

(1)若

，

①

;

②

.

(2)若

,

,且A1、A2、B1、B2都不为零,

①

；

②

；

4、点到直线的距离

(点

,直线

：

).

5、圆的四种方程

（1）圆的标准方程

.

（2）圆的一般方程

(

＞0).

（3）圆的参数方程

.

（4）圆的直径式方程

(圆的直径的端点是

、

).

6、直线与圆的位置关系

直线

与圆

的位置关系有三种:

;

.

其中

.

7、圆的切线方程

(1)已知圆

．①若已知切点

在圆上，则切线只有一条，其方程是

.当

圆外时,

表示过两个切点的切点弦方程．②过圆外一点的切线方程可设为

，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．③斜率为k的切线方程可设为

，再利用相切条件求b，必有两条切线．

(2)已知圆

．①过圆上的

点的切线方程为

;②斜率为

的圆的切线方程为

.

§圆锥曲线方程

1、椭圆

的参数方程是

.

2、椭圆

焦半径公式

，

.

3、椭圆的切线方程

(1)椭圆

上一点

处的切线方程是

.

(2)过椭圆

外一点

所引两条切线的切点弦方程是

.

(3)椭圆

与直线

相切的条件是

.

4、双曲线

的焦半径公式

，

.

5、双曲线的方程与渐近线方程的关系

(1）若双曲线方程为

渐近线方程：

.

(2)若渐近线方程为

双曲线可设为

.

(3)若双曲线与

有公共渐近线，可设为

（

，焦点在x轴上，

，焦点在y轴上）.

6、 双曲线的切线方程

(1)双曲线

上一点

处的切线方程是

.

（2）过双曲线

外一点

所引两条切线的切点弦方程是

.

(3)双曲线

与直线

相切的条件是

.

7、抛物线

的焦半径公式：抛物线

焦半径

.过焦点弦长

.

8、二次函数

的图象是抛物线：（1）顶点坐标为

；（2）焦点的坐标为

；（3）准线方程是

.

9、 抛物线的切线方程

(1)抛物线

上一点

处的切线方程是

.

（2）过抛物线

外一点

所引两条切线的切点弦方程是

.

（3）抛物线

与直线

相切的条件是

.

1、球的半径是R，则其体积

,其表面积

．

2、柱体、锥体的体积

（

是柱体的底面积、

是柱体的高）.

（

是锥体的底面积、

是锥体的高）.

3、回归直线方程

，其中

.

§极 限

1、几个常用极限

（1）

，

（

）；（2）

，

.

（3）

；（4）

(e=2.718281845…).

§导 数

1、几种常见函数的导数

(1)

（C为常数）.

(2)

.

(3)

.

(4)

.

(5)

；

.

(6)

;

.

2、导数的运算法则

（1）

.

（2）

.

（3）

.

3、复合函数的求导法则

设函数

在点

处有导数

，函数

在点

处的对应点U处有导数

，则复合函数

在点

处有导数，且

，或写作

.

§复 数

1、复数

的模（或绝对值）

=

=

.

2、复数的四则运算法则

(1)

;

(2)

;

(3)

;

(4)

.

3、复数的乘法的运算律

交换律:

.

结合律:

.

分配律:

.

4、复平面上的两点间的距离公式

（

，

）.

5、向量的垂直

非零复数

，

对应的向量分别是

，

，则

的实部为零

为纯虚数

(λ为非零实数).

6、实系数一元二次方程的解

实系数一元二次方程

，

①若

,则

;

②若

,则

;

③若

，它在实数集

内没有实数根；在复数集

内有且仅有两个共轭复数根

.

高中数学知识点归纳大全

一、函数

1、若集合A中有n

个元素，则集合A的所有不同的子集个数为

，所有非空真子集的个数是

。

二次函数

的图象的对称轴方程是

，顶点坐标是

。用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即

，

和

（顶点式）。

2、幂函数

，当n为正奇数，m为正偶数，m<n时，其大致图象是

3、函数

的大致图象是

由图象知，函数的值域是

，单调递增区间是

，单调递减区间是

。

二、三角函数

1、以角

的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴建立直角坐标系，在角

的终边上任取一个异于原点的点

，点P到原点的距离记为

，则sin

=

，cos

=

，tg

=

，ctg

=

，sec

=

，csc

=

。

2、同角三角函数的关系中，平方关系是：

，

，

；

倒数关系是：

，

，

；

相除关系是：

，

。

3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。如：

，

=

，

。

4、函数

的最大值是

，最小值是

，周期是

，频率是

，相位是

，初相是

；其图象的对称轴是直线

，凡是该图象与直线

的交点都是该图象的对称中心。

5、三角函数的单调区间：

的递增区间是

，递减区间是

；

的递增区间是

，递减区间是

，

的递增区间是

，

的递减区间是

。

6、

7、二倍角公式是：sin2

=

cos2

=

=

=

tg2

=

。

8、三倍角公式是：sin3

=

cos3

=

9、半角公式是：sin

=

cos

=

tg

=

=

=

。

10、升幂公式是：

。

11、降幂公式是：

。

12、万能公式：sin

=

cos

=

tg

=

13、sin(

)sin(

)=

，

cos(

)cos(

)=

=

。

14、

=

；

=

；

=

。

15、

=

。

16、sin180=

。

17、特殊角的三角函数值：

  0  

 

 

 

 

 

 
sin

  0  

 

 

  1   0  

 
cos

  1  

 

 

  0  

  0  
tg

  0  

  1  

  不存在   0   不存在  
ctg

  不存在  

  1  

  0   不存在   0  

18、正弦定理是（其中R表示三角形的外接圆半径）：

19、由余弦定理第一形式，

=

由余弦定理第二形式，cosB=

20、△ABC的面积用S表示，外接圆半径用R表示，内切圆半径用r表示，半周长用p表示则：

；

；

；

；

；

21、三角学中的射影定理：在△ABC 中，

，…

22、在△ABC 中，

，…

23、在△ABC 中：

24、积化和差公式：

，

，

，

。

25、和差化积公式：

，

，

，

。

三、反三角函数

1、

的定义域是[-1，1]，值域是

，奇函数，增函数；

的定义域是[-1，1]，值域是

，非奇非偶，减函数；

的定义域是R，值域是

，奇函数，增函数；

的定义域是R，值域是

，非奇非偶，减函数。

2、当

；

对任意的

，有：

当

。

3、最简三角方程的解集：

四、不等式

1、若n为正奇数，由

可推出

吗？ （ 能 ）

若n为正偶数呢？ （

均为非负数时才能）

2、同向不等式能相减，相除吗 （不能）

能相加吗？ （ 能 ）

能相乘吗？ （能，但有条件）

3、两个正数的均值不等式是：

三个正数的均值不等式是：

n个正数的均值不等式是：

4、两个正数

的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是

6、双向不等式是：

左边在

时取得等号，右边在

时取得等号。

五、数列

1、等差数列的通项公式是

，前n项和公式是：

=

。

2、等比数列的通项公式是

，

前n项和公式是：

3、当等比数列

的公比q满足

<1时，

=S=

。一般地，如果无穷数列

的前n项和的极限

存在，就把这个极限称为这个数列的各项和（或所有项的和），用S表示，即S=

。

4、若m、n、p、q∈N，且

，那么：当数列

是等差数列时，有

；当数列

是等比数列时，有

。

5、等差数列

中，若Sn=10，S2n=30，则S3n=60；

6、等比数列

中，若Sn=10，S2n=30，则S3n=70；

六、复数

1、

怎样计算？（先求n被4除所得的余数，

）

2、

是1的两个虚立方根，并且：

3、复数集内的三角形不等式是：

，其中左边在复数z1、z2对应的向量共线且反向（同向）时取等号，右边在复数z1、z2对应的向量共线且同向（反向）时取等号。

4、棣莫佛定理是：

5、若非零复数

，则z的n次方根有n个，即：

它们在复平面内对应的点在分布上有什么特殊关系？

都位于圆心在原点，半径为

的圆上，并且把这个圆n等分。

6、若

，复数z1、z2对应的点分别是A、B，则△AOB（O为坐标原点）的面积是

。

7、

=

。

8、复平面内复数z对应的点的几个基本轨迹：

轨迹为一条射线。

轨迹为一条射线。

轨迹是一个圆。

轨迹是一条直线。

轨迹有三种可能情形：a)当

时，轨迹为椭圆；b)当

时，轨迹为一条线段；c)当

时，轨迹不存在。

轨迹有三种可能情形：a)当

时，轨迹为双曲线；b) 当

时，轨迹为两条射线；c) 当

时，轨迹不存在。

七、排列组合、二项式定理

1、加法原理、乘法原理各适用于什么情形？有什么特点？

加法分类，类类独立；乘法分步，步步相关。

2、排列数公式是：

=

=

；

排列数与组合数的关系是：

组合数公式是：

=

=

；

组合数性质：

=

+

=

=

=

3、二项式定理：

二项展开式的通项公式：

八、解析几何

1、沙尔公式：

2、数轴上两点间距离公式：

3、直角坐标平面内的两点间距离公式：

4、若点P分有向线段

成定比λ，则λ=

5、若点

，点P分有向线段

成定比λ，则：λ=

=

；

=

=

若

，则△ABC的重心G的坐标是

。

6、求直线斜率的定义式为k=

，两点式为k=

。

7、直线方程的几种形式：

点斜式：

， 斜截式：

两点式：

， 截距式：

一般式：

经过两条直线

的交点的直线系方程是：

8、直线

，则从直线

到直线

的角θ满足：

直线

与

的夹角θ满足：

直线

，则从直线

到直线

的角θ满足：

直线

与

的夹角θ满足：

9、点

到直线

的距离：

10、两条平行直线

距离是

11、圆的标准方程是：

圆的一般方程是：

其中，半径是

，圆心坐标是

思考：方程

在

和

时各表示怎样的图形？

12、若

，则以线段AB为直径的圆的方程是

经过两个圆

，

的交点的圆系方程是：

经过直线

与圆

的交点的圆系方程是：

13、圆

为切点的切线方程是

一般地，曲线

为切点的切线方程是：

。例如，抛物线

的以点

为切点的切线方程是：

，即：

。

注意：这个结论只能用来做选择题或者填空题，若是做解答题，只能按照求切线方程的常规过程去做。

14、研究圆与直线的位置关系最常用的方法有两种，即：

判别式法：Δ>0，=0，<0，等价于直线与圆相交、相切、相离；

考查圆心到直线的距离与半径的大小关系：距离大于半径、等于半径、小于半径，等价于直线与圆相离、相切、相交。

15、抛物线标准方程的四种形式是：

16、抛物线

的焦点坐标是：

，准线方程是：

。

若点

是抛物线

上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是：

，过该抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的弦（称为通径）的长是：

。

17、椭圆标准方程的两种形式是：

和

。

18、椭圆

的焦点坐标是

，准线方程是

，离心率是

，通径的长是

。其中

。

19、若点

是椭圆

上一点，

是其左、右焦点，则点P的焦半径的长是

和

。

20、双曲线标准方程的两种形式是：

和

。

21、双曲线

的焦点坐标是

，准线方程是

，离心率是

，通径的长是

，渐近线方程是

。其中

。

22、与双曲线

共渐近线的双曲线系方程是

。与双曲线

共焦点的双曲线系方程是

。

23、若直线

与圆锥曲线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为

；

若直线

与圆锥曲线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为

。

24、圆锥曲线的焦参数p的几何意义是焦点到准线的距离，对于椭圆和双曲线都有：

。

25、平移坐标轴，使新坐标系的原点

在原坐标系下的坐标是（h，k），若点P在原坐标系下的坐标是

在新坐标系下的坐标是

，则

=

，

=

。

九、极坐标、参数方程

1、经过点

的直线参数方程的一般形式是：

。

2、若直线

经过点

，则直线参数方程的标准形式是：

。其中点P对应的参数t的几何意义是：有向线段

的数量。

若点P1、P2、P是直线

上的点，它们在上述参数方程中对应的参数分别是

则：

；当点P分有向线段

时，

；当点P是线段P1P2的中点时，

。

3、圆心在点

，半径为

的圆的参数方程是：

。

3、若以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为

直角坐标为

，则

，

，

。

4、经过极点，倾斜角为

的直线的极坐标方程是：

，

经过点

，且垂直于极轴的直线的极坐标方程是：

，

经过点

且平行于极轴的直线的极坐标方程是：

，

经过点

且倾斜角为

的直线的极坐标方程是：

。

5、圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程是

；

圆心在点

的圆的极坐标方程是

；

圆心在点

的圆的极坐标方程是

；

圆心在点

，半径为

的圆的极坐标方程是

。

6、若点M

、N

，则

。

十、立体几何

1、求二面角的射影公式是

，其中各个符号的含义是：

是二面角的一个面内图形F的面积，

是图形F在二面角的另一个面内的射影，

是二面角的大小。

2、若直线

在平面

内的射影是直线

，直线m是平面

内经过

的斜足的一条直线，

与

所成的角为

，

与m所成的角为

,

与m所成的角为θ，则这三个角之间的关系是

。

3、体积公式：

柱体：

，圆柱体：

。

斜棱柱体积：

（其中，

是直截面面积，

是侧棱长）；

锥体：

，圆锥体：

。

台体：

， 圆台体：

球体：

。

4、侧面积：

直棱柱侧面积：

，斜棱柱侧面积：

；

正棱锥侧面积：

，正棱台侧面积：

；

圆柱侧面积：

，圆锥侧面积：

，

圆台侧面积：

，球的表面积：

。

5、几个基本公式：

弧长公式：

（

是圆心角的弧度数，

>0）；

扇形面积公式：

；

圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角公式：

；

圆台侧面展开图（扇环）的圆心角公式：

。

经过圆锥顶点的最大截面的面积为（圆锥的母线长为

，轴截面顶角是θ）：

十一、比例的几个性质

1、比例基本性质：

2、反比定理：

3、更比定理：

5、合比定理；

6、分比定理：

7、合分比定理：

8、分合比定理：

9、等比定理：若

，

，则

。

十二、复合二次根式的化简

当

是一个完全平方数时，对形如

的根式使用上述公式化简比较方便。

高中数学怎么学才能提高成绩

用文科的思维学习数学。很多数学不好的人，往往数学思维很差，因此不能和那些聪明人去硬拼，因为咱们没有那么好的头脑，对数学逻辑反应慢，这是天生的，不能比较。但是我们可以勤能补拙。因为高中数学题，几乎都是各种题型的堆砌。只要我们把各种题型的解题思路背下来，那么，我们从理论上讲就可以满分。

背诵题型主要依靠长期反复训练。背诵题型当然不能硬背，在实践中，我们要通过反复训练的方式，熟悉每一个题型的思路，最好的方式就是同一类题型反复做上10-20遍以上。否则根本记不住。在大量做题后，这些题型的解题思路，你想忘都忘不了了，这就是数学奇妙的地方，这些题型无论怎么变化，变化幅度都很小，熟练后，一眼就能看出来，而且还能促进举一反三的思维成长。

提高数学成绩的方法

学好数学第一要养成预习的习惯。这是我多年学习数学的一个好方法，因为提前把老师要讲的知识先学一遍，就知道自己哪里不会，学的时候就有重点。当然，如果完全自学就懂更好了。

第二是书后做练习题。预习完不是目的，有时间可以把例题和课后练习题做了，检查预习情况，如果都会做说明学会了，即使不会还能再听老师讲一遍。

第三个步骤是做老师布置的作业，认真做。做的时候可以把解题过程直接写在题目旁边，比如选择题和填空题，因为解答题有很多空白处可写。这样做的好处就是，老师讲题时能跟上思路，不容易走神。

第四个学好数学的方法是整理错题。每次考试结束后，总会有很多错题，对于这些题目，我们不要以为上课听懂了就会做了，亲手做过了才知道会不会。而且要把错的题目对照书本去看，重新学习知识。

拓展阅读：高中数学答题技巧

1.特殊化策略 所谓特殊化策略，就是当我们面临的是一道难以入手的一般性题目时，要注意从一般退到特殊，先考察包含在一般情形里的某些比较简单的特殊问题，以便从特殊问题的研究中，拓宽解题思路，发现解答原题的方向或途径。

2.整体化策略 所谓整体化策略，就是当我们面临的是一道按常规思路进行局部处理难以奏效或计算冗繁的题目时，要适时调整视角，把问题作为一个有机整体，从整体入手，对整体结构进行全面、深刻的分析和改造，以便从整体特性的研究中，找到解决问题的途径和办法。

3.一般化策略 所谓一般化策略，就是当我们面临的是一个计算比较复杂或内在联系不甚明显的特殊问题时，要设法把特殊问题一般化，找出一个能够揭示事物本质属性的一般情形的方法、技巧或结果，顺利解出原题。

4.间接化策略所谓间接化策略，就是当我们面临的是一道从正面入手复杂繁难，或在特定场合甚至找不到解题依据的题目时，要随时改变思维方向，从结论(或问题)的反面进行思考，以便化难为易解出原题。

高中数学186个解题技巧电子版

一、 配方法 

配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。 

最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。 

配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：

Ⅰ、再现性题组：

Ⅱ、示范性题组：  

二、换元法

三、待定系数法 

要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。 

待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。 

使用待定系数法，它解题的基本步骤是： 

第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式； 

第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程； 

第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。 如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析： ①利用对应系数相等列方程； 

②由恒等的概念用数值代入法列方程； ③利用定义本身的属性列方程； ④利用几何条件列方程。 

比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。 

Ⅰ、再现性题组：

四、定义法 

所谓定义法，就是直接用数学定义解题。数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来。定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。 

定义是千百次实践后的必然结果，它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。简单地说，定义是基本概念对数学实体的高度抽象。用定义法解题，是最直接的方法，本讲让我们回到定义中去。

焦点、准线、离心率等问题，常用定义法解决；求圆锥曲线的方程，也总是利用圆锥曲线的

定义求解，但要注意椭圆、双曲线、抛物线的两个定义的恰当选用。 

Ⅲ、巩固性题组：  

五、数学归纳法 

归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的。完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。 

数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1(或n0)时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或n≥n0且n∈N）结论都正确”。由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳。 

运用数学归纳法证明问题时，关键是n＝k＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。 

运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。 

Ⅰ、再现性题组： 

六、参数法 

参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证。换元法也是引入参数的典型例子。 

辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的，联系的方式是丰富多采的，科学的任务就是要揭示事物之间的内在联系，从而发现事物的变化规律。参数的作用就是刻画事物的变化 状态，揭示变化因素之间的内在联系。参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支。运用参数法解题已经比较普遍。 

参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题。

七、反证法 

与前面所讲的方法不同，反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。 

反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A‖，这就是逻辑思维中的“排中律”。反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假。再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。 

反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。应用反证法证明的主要三步是：否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立。实施的具体步骤是： 

第一步，反设：作出与求证结论相反的假设； 

第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾； 

第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。 

在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。 

在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显。具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。

Ⅰ、再现性题组： 

1. 已知函数f(x)在其定义域内是减函数，则方程f(x)＝0 。 

A.至多一个实根    B.至少一个实根    C.一个实根     D.无实根  

高中数学训练套题及答案大全

（集合真题版本）（含答案）

一、选择题（本大题共17小题，共85分）

1.设集合A={x|x2-4x+3＜0}，B={x|2x-3＞0}，则A∩B=（　　）

A. B. C. D.

2.已知集合A={1，2，3}，B={x|x2＜9}，则A∩B=（　　）

A. 0，1，2， B. 0，1，

C. 2， D.

3.已知集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x-2）＜0，x∈Z}，则A∪B等于（　　）

A. B.

C. 1，2， D. 0，1，2，

4.已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（　　）

A. B. C. D.

5.设集合A={0，2，4，6，8，10}，B={4，8}，则∁AB=（　　）

A. B.

C. 6， D. 4，6，8，

6.设集合A={1，2，4}，B={x|x2-4x+m=0}．若A∩B={1}，则B=（　　）

A. B. C. D.

7.设集合S={x|（x-2）（x-3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（　　）

A. B.

C. D.

8.已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则（∁UP）∪Q=（　　）

A. B.

C. 2，4， D. 2，3，4，

9.设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=（　　）

A. B. C. D.

10.设函数的定义域为A，函数的定义域为B，则　　

A. B. C. D.

11.设集合U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={3，4，5}，则∁U（A∪B）=（　　）

A. B. C. 3，4， D. 2，4，

12.已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，则A∩B=（　　）

A. B. 或

C. D. 或

13.已知集合P={x∈R|1≤x≤3}，Q={x∈R|x2≥4}，则P∪（∁RQ）=（　　）

A. B.

C. D.

14.已知集合A={1，2，3}，B={y|y=2x-1，x∈A}，则A∩B=（　　）

A. B. C. D. 2，

15.已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3，5}，集合B={1，3，4，6}，则集合A∩∁UB=（　　）

A. B. C. 4， D. 3，

16.设集合A={x||x-1|＜1}，B={x|2x＜2}，则A∩B=（　　）

A. B. C. D.

17.设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=（　　）

A. B. C. D.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．

解不等式求出集合A，B，结合交集的定义，可得答案．

【解答】

解：∵集合A={x|x2-4x+3＜0}=（1，3），

B={x|2x-3＞0}=（

，+∞），

∴A∩B=（

，3），

故选：D

2.【答案】D

【解析】

【分析】

先求出集合A和B，由此利用交集的定义能求出A∩B的值．本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．

【解答】

解：∵集合A={1，2，3}，B={x|x2＜9}={x|-3＜x＜3}，

∴A∩B={1，2}．

故选D．

3.【答案】C

【解析】

解：∵集合A={1，2，3}，

B={x|（x+1）（x-2）＜0，x∈Z}={0，1}，

∴A∪B={0，1，2，3}．

故选：C．

先求出集合A，B，由此利用并集的定义能求出A∪B的值．

本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．

4.【答案】A

【解析】

解：∵集合A={x|x＜1}，

B={x|3x＜1}={x|x＜0}，

∴A∩B={x|x＜0}，故A正确，D错误；

A∪B={x|x＜1}，故B和C都错误．

故选：A．

先分别求出集合A和B，再求出A∩B和A∪B，由此能求出结果．

本题考查交集和并集求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集定义的合理运用．

5.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查集合的基本运算，属于基础题．

根据全集A求出B的补集即可．

【解答】

解：集合A={0，2，4，6，8，10}，B={4，8}，

​则∁AB={0，2，6，10}．

故选C．

6.【答案】C

【解析】

解：集合A={1，2，4}，B={x|x2-4x+m=0}．

若A∩B={1}，则1∈A且1∈B，

可得1-4+m=0，解得m=3，

即有B={x|x2-4x+3=0}={1，3}．

故选：C．

由交集的定义可得1∈A且1∈B，代入二次方程，求得m，再解二次方程可得集合B．

本题考查集合的运算，主要是交集的求法，同时考查二次方程的解法，运用定义法是解题的关键，属于基础题．

7.【答案】D

【解析】

【分析】

此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

求出S中不等式的解集确定出S，找出S与T的交集即可．

【解答】

解：由S中不等式解得：x≤2或x≥3，即S=（-∞，2]∪[3，+∞），

∵T=（0，+∞），

∴S∩T=（0，2]∪[3，+∞），

故选D.

8.【答案】C

【解析】

解：∁UP={2，4，6}，

（∁UP）∪Q={2，4，6}∪{1，2，4}={1，2，4，6}．

故选：C．

先求出∁UP，再得出（∁UP）∪Q．

本题考查了集合的运算，属于基础题．

9.【答案】B

【解析】

解：集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，

则A∩B={3，5}．

故选：B．

直接利用交集的运算法则化简求解即可．

本题考查交集的求法，考查计算能力．

10.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查函数定义的求法，交集及其运算，考查计算能力，属于基础题．根据幂函数及对数函数定义域的求法，即可求得A和B，即可求得A∩B．

【解答】

​解：由4-x2≥0，解得：-2≤x≤2，则函数y=

的定义域[-2，2]，

由对数函数的定义域可知：1-x＞0，解得：x＜1，则函数y=ln（1-x）的定义域（-∞，1），

则A∩B=[-2，1），

故选D．

11.【答案】A

【解析】

解：集合U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={3，4，5}，

则A∪B={1，3，4，5}．

∁U（A∪B）={2，6}．

故选：A．

求出A与B的并集，然后求解补集即可．

本题考查集合的交、并、补的运算，考查计算能力．

12.【答案】C

【解析】

解：∵集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，

∴A∩B={x|2＜x＜3}．

故选：C．

由已知条件利用交集的定义能求出A∩B．

本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的定义的合理运用．

13.【答案】B

【解析】

解：Q={x∈R|x2≥4}={x∈R|x≥2或x≤-2}，

即有∁RQ={x∈R|-2＜x＜2}，

则P∪（∁RQ）=（-2，3]．

故选：B．

运用二次不等式的解法，求得集合Q，求得Q的补集，再由两集合的并集运算，即可得到所求．

本题考查集合的运算，主要是并集和补集的运算，考查不等式的解法，属于基础题．

14.【答案】A

【解析】

解：根据题意，集合A={1，2，3}，而B={y|y=2x-1，x∈A}，

则B={1，3，5}，

则A∩B={1，3}，

故选：A．

根据题意，将集合B用列举法表示出来，可得B={1，3，5}，由交集的定义计算可得答案．

本题考查集合的运算，注意集合B的表示方法．

15.【答案】B

【解析】

解：全集U={1，2，3，4，5，6}，集合B={1，3，4，6}，∁UB={2，5}，又集合A={2，3，5}，

则集合A∩∁UB={2，5}．

故选：B．

求出集合B的补集，然后求解交集即可．

本题考查集合的交、并、补的混合运算，基本知识的考查．

16.【答案】A

【解析】

解：A={x||x-1|＜1}={x|0＜x＜2}，B={x|2x＜2}={x|x＜1}，

则A∩B=}={x|0＜x＜2}∩{x{x|x＜1}={x|0＜x＜1}．

故选：A．

解绝对值不等式化简集合A，解指数不等式化简集合B，再由交集运算性质得答案．

本题考查了交集及其运算，考查了不等式的解法，是基础题．

17.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了并集及其运算，考查了对数不等式的解法，是基础题．求解一元二次方程化简M，求解对数不等式化简N，然后利用并集运算得答案．

【解答】

解：由M={x|x2=x}={0，1}，

N={x|lgx≤0}=（0，1]，

得M∪N={0，1}∪（0，1]=[0，1]．

故选A．

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