微积分基本定理

微积分基本定理将导数和积分相互关联起来。这些关系既是重要的理论成就，也是实用的计算工具。虽然一些作者将这些关系视为一个由两个“部分”组成的单一定理（例如，Kaplan 1999，第 218-219 页），但每个部分更常被单独提及。

虽然术语有所不同（有时甚至会发生转置，例如，Anton 1984），但最常见的表述（例如，Apostol 1967，第 202 页）认为微积分第一基本定理，也称为“基本定理，第一部分”（例如，Sisson 和 Szarvas 2016，第 452 页），指出，对于在开区间

上的实值连续函数

和

为

中的任意数，如果

由下式定义

 

(1)

 

则

 

(2)

 

在

中的每个数处。

类似地，微积分第二基本定理的最常见表述（例如，Apostol 1967，第 205 页），也称为“基本定理，第二部分”（例如，Sisson 和 Szarvas 2016，第 456 页），指出，如果

是在闭区间

上的实值连续函数，并且

是

在

上的不定积分，则

 

(3)

 

这个结果虽然在初等微积分课程中很早就教授，但实际上是一个非常深刻的结果，它将纯粹代数的不定积分和纯粹分析（或几何）的定积分联系起来。

微积分第三基本定理适用于沿曲线的积分（即路径积分），并指出，如果

在包含参数化曲线

(对于

) 的区域

中具有连续的不定积分

，则

 

(4)

 

(Krantz 1999，第 22 页)。